（空军航空大学航空作战勤务学院，吉林 长春 130022）

0 引言

正交频分复用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技术已成为无线通信系统广泛采用的重要技术，OFDM 信道质量直接决定了通信质量。因此，信道估计已成为OFDM 系统需要重点解决的关键问题之一。在信道为密集信道并且依赖大量导频信号的基础上，经典最小二乘（LS,least square）算法[1]和最小均方差（MMSE,minimum mean square error）算法[2]可以完成信道的估计，但由于导频序列开销大，需要很多导频才能得到高的信道估计性能，且在信道为稀疏信道情况下，其性能并不理想。由于实际通信环境中信道表现出很强的稀疏特性，因此基于压缩感知的稀疏信道估计成为OFDM系统信道估计的研究热点。

当信号稀疏先验特性已知时，压缩感知可以利用低采样率重构出原始信号，典型算法有正交匹配追踪（OMP,orthogonal matching pursuit）、分段OMP（StOMP,stagewise OMP）[3]、正则化OMP（ROMP,regularization OMP）[4]、压缩采样匹配追踪（CoSaMP,compressed sampling matching pursuit）[5]、广义正交匹配追踪（gOMP,generalized OMP）[6]、分段弱正交匹配追踪（SWOMP,stagewise weak OMP）[7]和子空间追踪（SP,subspace pursuit）[8]等算法。当稀疏度未知时，典型算法有稀疏度自适应匹配追踪（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法[9]。文献[10]提出了基于SAMP 算法的自适应正则化压缩采样匹配追踪（ARCoSaMP）算法用于信道估计。文献[11]提出了一种自适应步长SAMP（ASSAMP）算法并将其用于稀疏信道估计。文献[12]在多径数量未知且抽头位置变化的情况下，提出一种基于搜索空间预处理的自适应正交匹配追踪算法。文献[13]结合原子预选和变步长思想，利用幂函数型的变步长方法克服SAMP 算法固定步长导致的重建精度低的问题，并得到更好的OFDM 信道估计性能。文献[14]考虑信道的时间选择性和频率选择性，研究了组稀疏压缩感知的OFDM 时变信道估计方法。文献[15]提出一种基于有限等距性质（RIP,restricted isometry property）的稀疏度预测自适应匹配追踪算法实现OFDM 信道估计。文献[16]提出优化的广义正交匹配追踪算法实现OFDM 信道估计。文献[17]基于压缩感知技术实现了OFDM 信道与脉冲噪声联合估计。块稀疏自适应匹配追踪算法被用于大规模多输入多输出（MIMO）系统稀疏度自适应信道估计[18]。

以上算法都不同程度地提升了OFDM 稀疏信道估计性能，但在迭代过程中对算法的计算量没有进行充分优化，导致测量矩阵与残差矢量内积运算中仍然存在较大运算量，算法运行速度比较慢；另一方面，对稀疏度进行更新时，稀疏度更新策略也不够完美，需要进行多次迭代才能选出所有合适的原子，迭代效率不高。

针对OFDM 系统信道稀疏度未知以及上述问题，本文提出了一种基于内积运算优化与稀疏度更新约束的压缩采样匹配追踪（IOC-CSMP,compressed sampling matching pursuit based on inner product optimization and sparsity update constraint）快速重构算法用于稀疏信道估计。在信道估计过程中，首先对信道稀疏度进行预估计，从而降低后续迭代次数；在每次迭代过程中，根据选择向量ζ非零值位置索引来选择测量矩阵Φ中对应的原子参与内积运算，而与选择向量ζ中零值位置对应的原子由于与残差向量正交，不需要参加后续迭代，因此内积的计算量得到有效降低。在稀疏度更新阶段，利用相邻两次信道估计值hˆΠ和hˆold的能量差来对步长更新进行约束，有效提升步长更新的准确度。仿真结果表明，与SAMP 算法、ASSAMP 算法相比，当 OFDM 系统信道稀疏度未知时，IOC-CSMP 算法信道估计精度更高，运行速度更快。

1 OFDM 信道稀疏模型

考虑具有P个子载波的OFDM 系统，其中M个子载波用作导频，信道长度为N，接收信号可表示为

其 中，X=diag{X(0),X(1),X(2),…,X(P-1)}是P×P维的对角矩阵，表示系统发送的数据符号；y=[y(0),y(1),y(2),…,y(P-1)]T表示接收信号；H=[H(0),H(1),H(2),…,H(P-1)]T表示信道频域响应采样值；n=[n(0),n(1),n(2),…,n(P-1)]T表示复加性白高斯噪声；W表示P×N维离散傅里叶变换矩阵。

式(3)由式(1)两边左乘矩阵S得到。其中，yM是M× 1维向量，XM=SXST是M×M维对角矩阵，WM=SW是M×N维矩阵，nM=Sn是M× 1维噪声向量，Φ=X MWM是M×N维测量矩阵。可以看出，h可以通过测量矩阵Φ和接收的导频信号yM利用稀疏重构算法来进行重构，然后对信道频域响应进行估计。

2 IOC-CSMP 快速重构算法

2.1 稀疏度预估计

假设测量矩阵Φ以参数(K,δk)满足RIP，如果K0≥K，那么式(4)成立[19]。

同样，式(4)的逆否命题也成立，即如果

那么K0＜K，利用式(4)和式(5)可以得到稀疏度K的预估值。

2.2 内积运算优化

当δ3k＜ 0.082时，满足稀疏重构条件所具备的RIP 条件[20]，也就是说，在每次迭代中只要参与重构的原子数不超过3K，那么重构算法就可以对稀疏信号进行重构。

贪婪类重构算法利用测量矩阵Φ的列与残差向量的内积来选择最优原子。根据上述分析，每次迭代时，计算残差向量与测量矩阵Φ的每个原子的内积，则支持集由最大的2K个内积元素对应的原子组成。当测量矩阵Φ的列数较大时，大幅增加了内积运算的计算量。目前，对内积运算的优化较少，因此本文提出下列算法对内积运算进行优化。

通过本文研究成果的试点、探索、改进，辅助某市级供电企业初步构建配网主动运维检修工作机制，有效降低了配网故障事件发生、提升了供电服务质量，取得了良好的经济效益和社会效益：

ζ中每个元素i的位置与测量矩阵Φ中每个原子的位置一一对应。在迭代过程中，当利用暂态解βtemp得到K个最大元素相应的索引集Π= [k,m,…,n]时，将向量ζ中与索引集Π对应索引位置处的值变为零，即

由于与索引集Π= [k,m,…,n]对应的测量矩阵Φ中K个原子是当次迭代的局部最优解，此时得到的K个原子与残差向量在理想情况下是正交的。因此，在下一次迭代计算内积时就可以根据选择向量ζ中非零值位置选择测量矩阵Φ中对应的原子参与内积运算，而选择向量ζ中零值位置的原子与残差向量正交，不需要继续参加后续迭代过程。这样，对于内积运算，每次迭代过程中参与计算的原子数越来越少，内积的计算量就越来越小，算法运算速度越来越快，尤其是在稀疏度K较大的场合下，这种优势越来越明显。

2.3 迭代终止分析与稀疏度更新策略

在算法回溯阶段，可以得到每次迭代的信道估计值为

在每次迭代过程中，对应的ΦΠ是由Φ中真实的个原子构成的矩阵。对于信道估计，由式(6)得到的为当前迭代过程中信道估计的最优值，随着迭代过程的不断进行，只要外界的信噪比不发生突变，那么值就会逐渐趋于稳定，也就是说值的稳定性不会随信噪比的变化而变化。考虑相邻两次迭代信道估计值的能量差值为

由于值会随着迭代不断进行而趋于稳定，因此理想情况下Γ→ 0，考虑到实际情况，可设置迭代终止条件为

其中，η为迭代终止因子，且η∈ (0,1)。在迭代过程中，固定的步长会导致迭代速度和信号重构精度之间的矛盾，而变步长则可以解决这种问题。当信道重构逼近目标值时，将使用较小的步长来提高信道的重构精度。因此，可以继续利用Γ值作为稀疏度更新步长的选择依据。当相邻两次迭代稀疏信道估计值能量差异较大，即Γ＞ε时，则选择大步长μ2来加快迭代速度；当Γ＜ε时，说明稀疏度估计值已接近信道真实稀疏度K，则选择小步长μ1(μ1＜μ2)避免出现过估计问题。其中，ε是步长选择门限因子且ε∈ (0,1)，要求ε＞η，因为若ε＜η，算法无法进入小步长选择阶段，导致信道估计精度无法保证。

2.4 算法步骤

2.5 算法计算复杂度分析

理论分析可知，在采用变步长策略条件下，算法的迭代过程会迅速收敛，一般条件下迭代次数T＜K，实际情况下稀疏度K通常满足K2≤Ο(N)，因此计算复杂度近似为Ο(KM(N-K))。SAMP 算法中每一次迭代都可视为SP算法[8]，因此计算复杂度上界近似为Ο(KMN)，ASSMAP 算法[11]可视为SAMP算法的个例，因此计算复杂度为Ο(KMN)，对于OMP，一次迭代所需的浮点运算为 2KMN+3K2M，算法的计算复杂度上界为Ο(KMN)。可以看出，与OMP、SAMP 和ASSMAP 算法相比，本文算法的计算量更小，算法的迭代速度更快。

3 仿真与分析

本节对IOC-CSMP 算法的OFDM 信道估计性能进行仿真和验证，并与LS、MMSE、SAMP、ASSAMP 等算法的性能进行比较，仿真实验主要分析信道估计的误码率（BER,bit error rate）与均方误差（MSE,mean square error）的变化情况。假设OFDM 系统调制方式为 64QAM，子载波数目N= 512，载波间隔为13 kHz，带宽为6.65 MHz，导频数Np=16，导频形状为块状导频，信道长度L=64，OFDM 符号数为30，信道稀疏度K=6，信道非零抽头位置服从均匀分布，并且在每一个OFDM 符号内都是不同的，信道信噪比变化范围为5～30 dB，μ1=1，μ2=3，ε= 3 × 1 0-3，η= 1 × 10-5。

图1 MSE 随SNR 的变化

采用 LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法进行OFDM 信道估计时，BER 随SNR 的变化如图2 所示。当SNR 较小时，信道受噪声影响较大，不同算法的BER 差异不大；随着SNR 增大，BER 逐渐减小，且不同算法之间的差异增大。从图2 可以看出，与其他算法相比，不同SNR下IOC-CSMP 算法的BER 都较小，表现出良好的信道估计性能。同时，从图1 和图2 可以看出，IOC-CSMP 算法仅利用子载波总数3.13%的导频数就能对OFDM 稀疏信道进行准确估计，有利于提升频谱利用率。

图2 BER 随SNR 的变化

当SNR=25 dB，导频数分别为8、16、32、64 时，不同算法的MSE 和BER 随导频数的变化分别如图3 和图4 所示。从图3 和图4 可以看出，不同算法的MSE 和BER 随导频数的增加呈下降趋势。IOC-CSMP 算法的MSE 和BER 性能整体上优于其他算法，信道估计性能良好；当导频数超过16时，其MSE 和BER 的下降趋势相对平缓，信道估计性能并未大幅度提升。从频谱利用率来看，当导频数为16 时，即可满足信道估计性能与频谱利用率的综合需求。

图3 MSE 随导频数的变化

图4 BER 随导频数的变化

当导频数Np=32，稀疏度K分别为6、9、12时，SAMP、ASSAMP 和IOC-CSMP 算法的MSE随SNR 的变化如图5 所示。从图5 可以看出，在不同信道稀疏度下，IOC-CSMP 算法的信道估计性能整体优于SAMP 算法和ASSAMP 算法。与图1相比，导频数Np=32、K=6时，算法的信道估计性能更好，但此时导频数在子载波总数的占比提升了一倍，频谱利用率会有所降低。

图5 不同稀疏度下MSE 随SNR 的变化

当稀疏度K分别为5 和13 时，LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法的信道估计时间随符号数的变化如图6 所示。从图6 可以看出，在不同稀疏度条件下，IOC-CSMP 算法的信道估计时间少于SAMP 算法和ASSAMP 算法，并且随OFDM 符号数的增加信道估计时间变化不大。这是因为IOC-CSMP 算法的运算量比SAMP 算法和ASSAMP算法小，能在较短的时间内完成OFDM 信道估计。

图6 不同稀疏度下信道估计时间随符号数的变化

当导频数Np=64、稀疏度K=8时，在不同稀疏度更新步长μ1和μ2条件下，IOC-CSMP 算法进行OFDM信道估计时MSE随SNR的变化如图7所示。从图7 可以看出，μ1和μ2较小时MSE 较小，可以获得较好的信道估计性能。这是因为μ1和μ2较小时，在信道稀疏度自适应更新过程中，稀疏度估计值能更准确地逼近真实的稀疏度K，从而使估计精度更准确。

图7 不同稀疏度更新步长下MSE 随SNR 的变化

4 结束语

本文针对无线信道路径数量未知情况下OFDM系统稀疏信道估计问题，提出了一种基于内积运算优化与稀疏度更新约束的压缩采样匹配追踪快速重构算法。首先对信道稀疏度进行预估计来降低后续迭代次数，基于压缩采样思想不断更新并扩大支搜集来逐步逼近信道的稀疏度；通过构建与不断更新选择向量，利用选择向量中零值位置对应的原子与残差向量的正交性，在内积运算中仅利用与选择向量中非零值位置索引对应的原子参与运算，有效降低算法的运算量，保证IOC-CSMP 算法快速收敛和估计精度。仿真结果表明，IOC-CSMP 算法比传统的LS、MMSE 算法和SAMP、ASSMAP 算法具有更好的MSE性能和BER性能，比SAMP和ASSMAP算法需要更少的信道估计时间，算法运行速度更快。